Zariski Topology on $k^n$

$k^n$ 最常见的拓扑自然是欧式拓扑，但是下面介绍的 Zariski 拓扑也是十分重要和“常见”的拓扑，并且它也保持了很多自然的性质，又有其独特的地方，值得了解一番。

详见 Jacobson《Basic Algebra 2》

Zariski Topology

给定一个交换环 $A$ ,$Spec(A)$ 表示 $A$ 理想全体构成的集合，带上一个 Zariski topology，拓扑中闭集为所有形式

$$V(I)=\lbrace P \in Spec(A) | I \subset P \rbrace , I \subset A$$

的集合，那么它必然会满足拓扑关于闭集的公理。

$k^n$ 上的 Zariski 拓扑

由于 $k^n=\lbrace(a_1,a_2,\cdots,a_n)| a_i \in k \rbrace$ 到 $k$ 的多项式函数与 $k[x_1,x_2,\cdots,x_n]$ 同构。所有 $k^n$ 上的拓扑

本质上是由交换环 $k[x_1,x_2,\cdots,x_n]$ 的 Zariski 拓扑所确定。

$$V(S)=\lbrace (a_1,a_2,\cdots,a_n) \in k^n | f(a_1,a_2,\cdots,a_n) = 0 , \forall f \in S \rbrace$$

1. $V(k[x_1,x_2,\cdots,x_n]) = \emptyset$

2. $V(\emptyset)=k[x_1,x_2,\cdots,x_n]$

3. $\cap_{i \in I} V(S_i) = V(\cup_{i \in I} S_i)$

4. $V(S) = V(I(S))$

5. $V(I_1) \cup V(I_2) = V(I_1 I_2)$

所以，上述 $V(S)$ 全体作为闭集构成了 $k^n$ 的一个拓扑，称为 $k^n$ 上的 Zariski 拓扑。

性质（设 $k$ 是代数闭域）

1. 拓扑基： $k^n$ 中开集有形式 $k^n \setminus V(S) = \cup_{f \in S} O_f$ 其中 $O_f = k^n \setminus V(f)$ 为开集。
   因此 ${O_f|f \in k[x_1,x_2,⋯,x_n]}$ 构成了 $k^n$ 上的拓扑集

2. $k^a$ 是 $T_1$空间。

3. $k^n$ 是不可约空间，即有限个非空开集交集非空。

4. $k^n$ 多项式映射在 Zariski 拓扑下连续。