整数集上的一种特殊拓扑

在《Proofs from THE BOOK》里素数无限的六种证明的第五种讲到了一种用点集拓扑学知识证明的方法，其中引入了整数集上的一种奇特拓扑。

特殊拓扑的定义

对 $a,b \in \mathbb{Z},b>0$，令

$$N_{a,b} = \lbrace a + nb \colon n \in \mathbb{Z} \rbrace$$

我们称集合 $O \subset \mathbb{Z}$ 是开集，若 $O = \emptyset$，或者 $\forall a \in O,\exists b>0,st. N_{a,b} \subset O$,容易验证这样定义的开集族全体构成了 $\mathbb{Z}$ 上的拓扑。

上述拓扑的性质

每个 $N_{a,b}$ 都是既开又闭的。这是由于

$$N_{a,b} = \mathbb{Z} \setminus \cup_{i=1}^{b-1} N_{a+i,b}$$

又由

$$\mathbb{Z} \setminus \lbrace -1,1 \rbrace = \cup_{p \in P} N_{0,p}$$

其中 $P$ 是素数集。

上述拓扑的应用

若素数只有有限个，即 $P$ 是有限集，则 $\lbrace -1,1 \rbrace$ 是开集，矛盾。

上述方法脑洞大，形式简洁，不愧是 《Proofs from THE BOOK》