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自然底数 $e$ 之所以重要，我想很大程度上是因为，指数函数 $f(x)=e^x$ 是“唯一”(在常数倍意义下)满足导数等于本身的函数。因此 $e$ 被叫做自然底数。 然而，$e$ 的定义可以由一个常见的重要数列极限来定义。即 e \d ...

初中就学过最简单的均值不等式 $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab},a ,b \geq 0$。它的证明只需配方就知道了，这里介绍一下一般的均值不等式: \frac{ \sum_{i=1} ^n a_i}{n} \ge ...

数学老师想好了两个自然数 $m,n$ 满足 $2 \leq m \leq n \leq 100$ ,他把 $m,n$ 的和 $s$ 告诉了 $S$ 同学，把 $m,n$ 的积 $p$ 告诉了 $P$ 同学，他们都是聪明诚实的学生。进行了下面 ...

在《Proofs from THE BOOK》里素数无限的六种证明的第五种讲到了一种用点集拓扑学知识证明的方法，其中引入了整数集上的一种奇特拓扑。 特殊拓扑的定义对 $a,b \in \mathbb{Z},b>0$，令 N_{a, ...

“公平”的席位分配首先本来就是不可能的，公平一般是无法达到的，我们只是尽量降低不公平度，那么我们怎么衡量不公平度呢。就像评价一个人，有不同的指标，不公平度也是一样，这里介绍一种相对合理易于接受，且好判断的方法。 问题表述某学校三个系部学生 ...

从二次剩余问题，引入 Legendre 符号，由此一步步导出 Gauss 互反律，最后延伸到 Jacobi 符号，整个步骤确实连贯优美，脍炙人口。 寒假回家好好调整了一下状态，回学校后感觉还不错，效率也蛮高。发现理图虽然比较破，但是还是很不 ...

关于自然数方幂和公式，网上的求解版本有很多种。这里介绍一种不为人知，十分简洁明了的求解方法，该公式并非原创，但是整个证明过程和方法完全原创。它的思想来源于我高中时在一本数学竞赛书中的数列例题(书名忘了…)，正因为一本本这样的书，让我大学选择 ...

在 上一篇博文 中，介绍过数论中的 Möbius 反演公式，让我想起了另一个经典的反演公式：二项式反演公式。本质上反演公式就是矩阵求逆的过程。 只是它的逆有很简单的形式，因此才有了二项式反演公式，这个公式帮助我们队伍在 2014 年 ACM ...

最近重温潘承洞老先生的《数论基础》(现代数学基础丛书 34)，确实是经典中的经典。以现代的眼光看数论函数，使得分析问题更加简洁本质，而这些都要归功于 Dirichlet 积的引入。 常见数论函数为了更好的介绍 Dirichlet 积，先引 ...

很久之前写的，舍不得删，保持原貌吧 This blog makes a record of my math work and will be update frequently.Click to view or download it. ...