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我们可以把计算机看成一个函数，将一份代码映成一段输出，那么输出为代码本事就是数学中不动点。任意语言都有很多相应版本的这种程序，原理都是类似的，我自己写的 C++ 代码如下： 1234567891011121314151617181920# ...

之前写过 自然数方幂和公式， 这次写的目的是因为上次是从数学上完美的解决了这个问题，这次我们要从计算上完美的解决这个问题，当然这归功于我看到的一份 sgtlaugh 的代码。经过解读体会到其中的奥秘，特此记录。一句话，简直不敢相信。 如果 ...

已被历史淘汰 最长递增子序列最常规的做法是 $O(n^2)$ 的动态规划的做法（很容易想到不多说了）。这里可以维护一个单调的数列使其复杂度降至 $O(n \log n)$。相应的最长递减、不升、不降子序列完全类似，相应修改即可。另外，这 ...

$\pi(x)$ 表示不超过 $x$ 的素数个数。容易看出可以在 $O(N)$ 时间复杂度，$O(N)$ 空间复杂度离线预处理求出小于 $N$ 的素数全体。但是如果 $N=10^{14}$ 或者更大，这种做法必然是不现实的。因此下面给出高效 ...

设 $A$ 是(交换)环。令 $X$ 为 $A$ 的素理想全体，定义 $V(E)$ 为 $A$ 中包含 $E$ 的素理想全体，则将所有 $V(E)$ 看做闭集，它满足拓扑空间三条公理，即构成了拓扑，该拓扑称作 Zariski 拓扑，这个拓扑 ...

近期在整理 Lie Algebra 课的笔记，还是很喜欢这门课的，主要是本科时候矩阵玩的特别 6，然后 Lie Algebra 可以认为是矩阵的推广版本。里面的证明技巧性相当强。我之所以喜欢数学很大程度与数学技巧有关。但是我的导师说，这些虽 ...

最近在整理李代数（Lie Algebra） 内容时，里面提到了 Jordan 分解，这里就详细介绍并证明几个相关结果。 若矩阵 $A,B$ 可交换，则它们有公共特征向量。 若矩阵 $A,B$ 可以对角化，则它们可以同时对角化，当且仅当 $ ...

有限整环是域，这是一个相当深刻的定理，被称为 Wedderburn’s little theorem。介绍如下。 有限整环是体设 $D$ 是有限整环（不要求交换），下证 $D$ 是体。证明：对任意 $0 \neq a \in D$，考虑 $ ...

华罗庚恒等式有两个，都看似奇怪但都有其深刻的应用(数学内部的) 若在一个环中 $a,b,1-ab$ 都可逆，则 \left( (a-b^{-1})^{-1} - a^{-1} \right)^{-1} = aba - a 若在一个环中 ...

Fermat 平方和定理的表述为：奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该质数被 4 除余 1（必要性显然）。这个结论首次由 Euler 在 1747 年给出证明。详细叙述如下： 为方便起见,记 A = \lbrace a^2 + ...