幂零矩阵的一个充要条件

前几天一个学弟告诉我，关于复数域上幂零矩阵 $A$ 的一个充要条件：

$$A = AB-BA, \quad \exists B \in M_n(\mathbb{C})$$

特此记录。

证明分几个小步骤：

1. 必要性对若当块成立，若$A$为（上三角）若当块，那么取 $B=diag \lbrace 0,1,⋯,n−1 \rbrace$ 即可，若 $A$ 为分块若当块（若当标准型），那么取对应的分块 $B$ 即可。又由于

   $$P^{-1}AP = P^{-1}APP^{-1}BP - P^{-1}BP P^{-1}AP$$

   因此，由对若当标准型成立,可知道对一般形式成立。

2. $tr(A^k) = 0, 1 \leq k \leq n$ ，则$A$ 幂零。

   由若当标准型可知，只需证明：

   $$\begin{cases} x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0 \\ x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + \cdots + x_n ^2 = 0 \\ \cdots \\ x_1 ^ n + x_2 ^n + \cdots + x_n ^n = 0 \end{cases}$$

   推出，$x_1 = x_2 = \cdots x_n = 0$ ，不妨设

   $$\begin{cases} x_1 t_1 + x_2 t_2 + \cdots + x_r t_r = 0 \\ x_1 ^ 2 t_1 + x_2 ^ 2 t_2 + \cdots + x_r ^2 t_r= 0 \\ \cdots \\ x_1 ^ r t_1 + x_2 ^r t_2 + \cdots + x_r ^r t_r = 0 \end{cases}$$

   其中 $x_i$ 互不相同，那么，假设 $r>1$ 则由 Vandemode 行列式不为 0 知， $t_i = 0$ 矛盾，因此 $r=1$， 此时 $x_i=0$。

3. $C=AB-BA$ 且 $AC=CA$ 则，$C$ 幂零。

   $$\forall k,tr (C^k) = tr(C^{k-1}AB - C^{k-1}BA) =tr(C^{k-1}AB) - tr(AC^{k-1}B) = 0$$

   因此由上面结论知，$C$ 幂零

4. 综合上述结论，充分性显然。