自然底数 e 的由来

自然底数 $e$ 之所以重要，我想很大程度上是因为，指数函数 $f(x)=e^x$ 是“唯一”(在常数倍意义下)满足导数等于本身的函数。因此 $e$ 被叫做自然底数。

然而，$e$ 的定义可以由一个常见的重要数列极限来定义。即

$$e \doteq \lim _{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$$

那么为什么右边极限存在呢，我们来仔细分析。
令

$$a_n = (1+\frac{1}{n})^n ,\; b_n =(1+\frac{1}{n})^{n+1}$$

则，由均值不等式易知：

$$a_n = (1+\frac{1}{n})^n \cdot 1 \leq [\frac{n(1+\frac{1}{n})+1}{n+1}]^{n+1} =a_{n+1}$$

且

$$\frac{1}{b_n} = (\frac{n}{n+1})^n \cdot 1 \leq [\frac{(n+1)\frac{n}{n+1}+1}{n+2}]^{n+2} = \frac{1}{b_{n+1}}$$

因此 $2 = a_1 \leq a_n \leq b_n \leq b_1 = 4$。由于单调有界序列必有极限，不妨把这个极限记作 $e$ 且由上面推理知 $2 < e < 4$。

补充说明

$$f_n = (1+\frac{1}{n})^{n+c},\quad g_n = (1+\frac{1}{n})^{n+d}$$

那么满足$f_n \leq e < g_n$ 的最大的$c=\frac{1}{ln⁡2}−1$，最小的$d = \frac{1}{2}$，详细证明