均值不等式的证明

初中就学过最简单的均值不等式 $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab},a,b\ge 0$。它的证明只需配方就知道了，这里介绍一下一般的均值不等式:

$$\frac{\sum _{i=1}^n{a}_i}{n}\ge \sqrt[n]{{\mathrm{\Pi }}_{i=1}^n{a}_i}$$

Proof：当 $n=1$ 时结论是平凡的，$n=2$ 时配方即知。$n=2^k$时不难用数学归纳法知，结论成立，下面主要看 $2^{k-1}<n<2^k$的情况：
令 $A=\frac{\sum _{i=1}^n{a}_i}{n}$ 则，应用 $2^k$ 时的结论

$$\frac{\sum _{i=1}^n{a}_i+(2^k-n)A}{2^k}\ge \sqrt[2^k]{{\mathrm{\Pi }}_{i=1}^n{a}_i{A}^{2^k-n}}$$

化简可得到结论。

上述证明简单优美，第一次在陈纪修《数学分析》上册看到这个优美的方法。