李代数 | dna049

近期在整理 Lie Algebra 课的笔记，还是很喜欢这门课的，主要是本科时候矩阵玩的特别 6，然后 Lie Algebra 可以认为是矩阵的推广版本。里面的证明技巧性相当强。我之所以喜欢数学很大程度与数学技巧有关。但是我的导师说，这些虽然很有技巧，但是你花时间都是可以处理的，会技巧没什么了不起，脑袋稍微好一点就能做这种事，长期技巧的训练其实意义并不大，应该更关注数学内部的东西，具体说就是一个代数对象的结构，分类，不变量，对象之间的同构。一个概念有哪些等价形式，与其它概念之间的关系，搞清楚这些更为重要，它们的证明只要大致知道怎么过来的就行。我们并不要把证明的细节放在心中，因为我们已经经过了多年的训练，相信我们通过大致步骤就能给出详细的证明，只是花的时间多少罢了。当然初学一个东西，去抠它的细节是无可厚非的。
以上纯属废话 0.0

定义

交换环 $K$ 上的模 $L$ ，以及一个运算 $L \times L \to L, (x, y) \mapsto [x, y]$ 称为 $x, y$ 的 Lie 括号，或交换子，并称 $L$ 是 $K$ 上的 Lie Algebra，如果满足如下公理。
L1. $[\cdot, \cdot]$ 是双线性的；
L2. $[x, x] = 0$ 对任意 $x \in L$ 成立；
L3. $[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0$ (Jacobi 恒等式)

若 $[L, L] = 0$ 则上面结论显然成立，此时称为 Abelian Lie Algebra。

我们通常并不考虑 Abelian Lie Algebra。并且要求交换环 $K$ 是域 $F$ ，很多时候还要求 $F$ 是特征为 0 的代数闭域，另外我们大多考虑 $L$ 是 $F$ 上的有限维线性空间。

子，理想，商，同态，表示等一系列的概念和其它代数结构几乎一致。可以划入范畴中。另外单，半单，Radical 等这些概念也于环里面的类似，就不赘述了。

样板 Lie Algebra

若 $V$ 是 $F$ 上有限维线性空间， $E n d V$ 表示 $V$ 到 $V$ 的线性变换全体按照元素的复合构成了 $F$ 上的线性空间且 $\dim E n d V = (\dim V)^{2}$ 。也构成了 $E n d V$ 是一个结合 $F$ -代数。而任何结合代数都可以诱导一个 Lie 代数： $[x, y] = x y - y x$ 。为了强调 Lie 结构，我们用 $gl (V)$ 代替 $E n d V$ ，称为 general linear algebra。它在 Lie 代数中充当的角色很类似于置换群在群中的角色。我们知道半单 Lie 代数同构于 $gl (V)$ 的一个子 Lie 代数。

导子和伴随表示

我们称一个 $F -$ 代数 $A$ （可以非结合）也可以借助导子(derivation)诱导一个 Lie 代数，称一个导子是指一个线性映射 $δ : A \to A$ 满足 $δ (a b) = δ (a) b + a δ (b)$ 。易知导子 $D e r A$ 全体构成了 $E n d A$ 的一个子空间，由于 $[δ, δ^{'}] \in D e r A$ ，因此 $D e r A$ 构成了 $gl (V)$ 的一个子 Lie 代数。
由于 Lie 代数 $L$ 也是 $F$ -代数,因此我们也可以定义 $D e r L$ 。这里的导子本质上就是 Jacobi 恒等式的变形。
定义 $a d_{x} : L \to L, y \mapsto [x, y]$ ，实际上 $a d_{x} \in D e r L$ 。 $L \to D e r L, x \mapsto a d_{x}$ 称为 $L$ 的伴随表示(adiont representation)。

可解和幂零

对于给定 Lie 代数 $L$ ，我们有理想降链
$L^{(0)} = L, L^{(1)} = [L^{(0)}, L^{(0)}], \dots, L^{(i)} = [L^{(i - 1)}, L^{(i - 1)}], \dots$ 。若存在 $n$ 使得 $L^{(n)} = 0$ 则称 $L$ 可解(slovable)。

若 $L$ 可解， $L$ 的子代数和同态像可解
$I$ 是 $L$ 的可解理想，若 $L / I$ 可解，则 $L$ 可解。
$I, J$ 是 $J$ 的可解理想，则 $I + J$ 也是。

由上述性质可知， $L$ 有唯一的极大可解理想。即为 $R a d L$ ,若 $R a d L = 0$ 则称之为半单的，等价于 $L$ 无非零 Abelian 理想(充分性显然，必要性是因为 $R a d L$ 可解，考虑最后一个非 0 项必然是 Abelian 理想矛盾)。另外我们称 $x \in E n d V$ 半单，若 $x$ 的极小多项式无重根。

对于给定 Lie 代数 $L$ ，我们有理想降链
$L^{0} = L, L^{1} = [L, L^{0}], \dots, L^{i} = [L, L^{i - 1}], \dots$ 。若存在 $n$ 使得 $L^{n} = 0$ 则称 $L$ 幂零(nilpotent)。

若 $L$ 幂零， $L$ 的子代数和同态像幂零。
若 $L / Z (L)$ 幂零。则 $L$ 幂零。
若 $L$ 幂零且非 0，则 $Z (L) \neq 0$ 。

显然由于 $L^{(i)} \subset L^{i}$ 因此幂零一定可解，但是反之则不尽然，例如 $gl (V)$ 中对应的上三角矩阵全体构成的 Lie 代数。由 Lie 定理的推论知：

$L$ 可解的充要条件是 $[L, L]$ 幂零。

ad-nilpotent

$L$ 是一个 Lie 代数， $x \in L$ , 称 $x$ ad-nilpotent 是指 $a d_{x}$ 幂零。
易知若 $x$ 幂零，则 $a d_{x}$ 幂零，但是反之不尽然。然而我们有 Engel 定理：

$L$ 幂零当且仅当 $a d L$ 幂零

一些重要结果

这里罗列一些定理实际上就是搞清楚 Lie 代数中的一些问题和一些好的性质。

THM1. 设 $L$ 是 $gl (V)$ 的子代数( $L$ 中的元素可理解为矩阵)， $V$ 是有限维的，若 $L$ 中元素都幂零，则存在 $v \in V$ 使得 $L (v) = 0$ .
上面结果是讲， $L$ 中元素都幂零，则 $L$ 有公共的 $0$ 特征向量。证明是很有技巧性的。构造一个 codemension 为 1 的子代数，并证明它是 $L$ 不变子空间。然后数学归纳法完成证明。上面定理还说明我们可以取定一组基使 $L$ 同时严格上三角。

THM2. 若 $L$ 幂零， $K$ 是 $L$ 的非零理想,则 $K \cap Z (L) \neq 0$

THM3. 设 $L$ 是 $gl (V)$ 可解子代数， $V$ 是有限维的，则存在 $L$ 存在公共特征向量。

上面定理还说明我们可以取定一组基使得 $L$ 同时上三角。

THM4. 若 $x \in E n d V$ ，则存在唯一的分解 $x = x_{s} + x_{n}$ ，其中 $x_{s}$ 是半单的， $x_{n}$ 是幂零的，且 $x_{s}, x_{n}$ 都能表示成 $x$ 的无常数项的多项式。将其称之为 Jordan-Chevally 分解。

THM5. 若 $x$ 半单，则 $a d_{x}$ 半单。若 $x = x_{s} + x_{n}$ 是 Jordan-Chevally 分解，则 $a d_{x} = a d_{x_{s}} + a d_{x_{n}}$ 也是。 $D e r A$ 包含其元素的半单部分和幂零部分。

THM6. $A \subset B \subset E n d V$ ，令 $M = {x \in gl (V) ∣ [x, B] \subset A}$ 。若 $x \in M$ 满足， $T r (x y) = 0$ 对任意 $y \in M$ 成立，则 $x$ 幂零。

THM7 $L \subset gl (V)$ ， $V$ 是有限维的, 则对任意 $x \in [L, L], y \in L$ 有 $T r (x y) = 0$ 当且仅当 $L$ 可解。

THM8 设 $L$ 是 Lie 代数，对任意 $x \in [L, L], y \in L$ 有 $T r (a d_{x} a d_{y}) = 0$ 则 $L$ 可解。

THM9 若 $L$ 是半单的，则 $L$ 可唯一写成单子理想的直和且 $L = [L, L], Z (L) = 0$ 且 $L$ 的理想和同态像都是半单的。

THM10 $a d L$ 是 $D e r L$ 的理想，且若 $L$ 是半单的，则 $a d L = D e r L$ 。