Kaplansky 定理

(非交换)环中有一个有趣的（Kaplansky）定理说：

如果环 $R$ 中元素 $a$ 有不止一个右逆，那么 $a$ 有无数多个右逆。

像极了出轨只有零次，或者无数次。

(Kaplansky) Suppose an element $a$ in a ring $R$ has more than one right inverse. Show that $a$ has infinitely many right inverses.

(Kaplansky) 若环 $R$ 中元素 $a$ 有不止一个右逆，那么它有无数个右逆

证明：（反证法）设 $a$ 的所有右逆构成的集合为 $A = \lbrace x \in R \mid a x = 1 \rbrace$.

若 $A$ 有限，不妨设 $A = \lbrace x_1,x_2,\cdots,x_n \rbrace, (n>1)$ , 则

$$a(1- x_i a + x_1) = a-(a x_i) a + a x_1 = 1$$

并且, 若 $1 - x_i a + x_1 = 1 - x_j a + x_1$, 即 $x_i a = x_j a,$ 那么 $x_i = x_i(a x_i)=(x_j a) x_j$, 也就是说

$$A = \lbrace x_1,x_2,\cdots,x_n \rbrace = \lbrace 1- x_1 a + x_1,1- x_2 a + x_1,\cdots,1- x_n a + x_1 \rbrace$$

所以存在 $k$ 使得 $1 - x_k a + x_1 = x_1$，即 $x_k a = 1$ 所以对任意 $1 \leq i \leq n$,

$$x_i = (x_k a) x_i = x_k (a x_i) = x_k$$

即所有 $x_i$ 都相同，矛盾与 $A$ 中元素个数大于 1，证毕。

等价叙述： 如果环 $R$ 中元素 $a$ 有右逆而没有左逆，那么 $a$ 有无穷多个右逆

通俗的讲就是，如果你喜欢一个不喜欢你的人，那你不仅仅只喜欢这个人。