矩阵的 Jordan 分解

最近在整理李代数（Lie Algebra）内容时，里面提到了 Jordan 分解，这里就详细介绍并证明几个相关结果。

若矩阵 $A,B$ 可交换，则它们有公共特征向量。
若矩阵 $A,B$ 可以对角化，则它们可以同时对角化，当且仅当 $A,B$ 交换
每一个矩阵 $A$ 都可以唯一分解成 $A=B+C$, 其中 $B$ 可对角化（半单部分），$C$ 幂零。且 $B,C$ 都可以写成 $A$ 的无常数项的多项式。

下面证明这三个结果并给出说明其意义。

若矩阵 $A,B$ 可交换，则它们有公共特征向量

证明：我们设 $V$ 为 $n$ 阶列向量全体。设 $\lambda$ 为 $B$ 的一个特征值。设

$W = \lbrace x \in V \mid Bx = \lambda x \rbrace$

则对任意 $x \in W$,

$B(Ax) = A(Bx)=A(\lambda x)=\lambda(Ax)$

即 $Ax \in W$。即 $W$ 是 $A$ 的不变子空间，因此，$A$ 在 $W$ 中有特征值 $\mu$ 对应的特征向量 $v$ 即为所求。

若矩阵 $A,B$ 可以对角化，则它们可以同时对角化，当且仅当 $A,B$ 交换

证明：$\rightarrow$ 是显然的。现证 $\leftarrow$ 若 $A,B$ 交换。
由条件知，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = diag(a_1 E_{n_1},\cdots,a_s E_{n_s})$。由 $A,B$ 交换知，$P^{-1}AP P^{-1}BP = P^{-1}BP P^{-1}AP$。因此

$P^{-1}BP = \left(\begin{matrix} B_1 \\ & B_2 \\ & & \ddots \\ & & & B_s \end{matrix}\right)$

因为 $B$ 可对角化，因此 $B$ 的最小多项式无重根。所以 $B_i$ 的最小多项式也无重根。因此 $B_i$ 可对角化，存在可逆矩阵 $Q_i$ 使得 $Q_i^{-1}B_iQ_i$ 为对角阵。令 $Q = diag(Q_1,\cdots,Q_s)$，$T=PQ$，则 $T^{-1}BT$ 为对角阵。

$T^{-1}AT = diag(Q_1^{-1},\cdots,Q_s^{-1})diag(a_1 E_{n_1},\cdots,a_s E_{n_s}) diag(Q_1,\cdots,Q_s) = diag(a_1 E_{n_1},\cdots,a_s E_{n_s})$

Jodan 分解

每一个矩阵 $A$ 都可以唯一分解成 $A=B+C$, 其中 $B$ 可对角化，$C$ 幂零。且 $B,C$ 都可以写成 $A$ 的无常数项的多项式。

证明：首先对任意矩阵，我们有 Jordan 标准型：对任意矩阵 $A$，存在可逆矩阵 $P$ 使得

$P^{-1} A P = \left(\begin{matrix} J_1(\lambda_1) \\ & J_2(\lambda_2) \\ & & \ddots \\ & & & J_s(\lambda_s) \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \lambda_1 E_{n_1} \\ & \lambda_2 E_{n_2} \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_s E_{n_s} \end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} J_1(0) \\ & J_2(0) \\ & & \ddots \\ & & & J_s(0) \end{matrix} \right)$

由于 $J_i(\lambda_i)$ 的化零多项式为 $f_i(\lambda) = |\lambda I_i - J_i(\lambda_i)|$。由中国剩余定理知。存在多项式 $f(\lambda)$ 满足 $f(\lambda) = \lambda_i (mod \; f_i),i=1,\cdots,s$ 且 $f(\lambda)= 0 (mod \lambda)$。此时

$P^{-1} f(A) P = \left(\begin{matrix} \lambda_1 E_{n_1} \\ & \lambda_2 E_{n_2} \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_s E_{n_s} \end{matrix}\right)$

令 $B=f(A)，C=A-B$ 即为所求。上面的 $B,C$ 是唯一的，因为，若存在 $B_1,C_1$ 也满足上述条件，则 $A,B,C,B_1,C_1$彼此交换，$B-B_1 = C_1 - C$ 是幂零的，因此 $B=B_1,C=C_1$。

对于 Jordan 分解，我们可以将一个矩阵分为所谓的半单部分和幂零部分，而由第二条结论知道，如果 $A_1,A_2$ 可交换，那么 $A_1+A_2$ 的半单部分即为 $B_1+B_2$。或者说的更明了一点就是，如果 $A,B$ 可交换，且可以对角化，则 $A+B$ 也可以对角化。