华罗庚恒等式

华罗庚恒等式有两个，都看似奇怪但都有其深刻的应用(数学内部的)

1. 若在一个环中 $a,b,1-ab$ 都可逆，则

   $$\left( (a-b^{-1})^{-1} - a^{-1} \right)^{-1} = aba - a$$

2. 若在一个环中

   $$a = \left( b^{-1} - (a-1)^{-1}b^{-1}(a-1) \right) \left (a^{-1} b^{-1}a-(a-1)^{-1}b^{-1}(a-1) \right)^{-1}$$

上面两个恒等式直接验算即知，可是华老当初怎么想到这两个很奇怪的恒等式呢，怎么导入的，有什么应用呢？

当然以下也只是我的个人猜测加上 Wikipedia 的一些参考。

在环中, 1-ba 可逆当且仅当 1-ab 可逆

$$(1-ba)^{-1} = 1+ b(1-ab)^{-1}a$$

上面恒等式直接证明是显然的，应用却 666，6 到要吐。
问题在于为什么想到这样奇怪的式子呢？思路怎么来的呢？
我们知道，当 $0<x<1$ 时，

$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} {x^n}$$

因此，形式上我们有

讲上述不等式应用到矩阵形式即可得到 Sherman–Morrison 恒等式

在环中，若 $a,b,ab-1$ 可逆，则

由上面恒等式我们知道

$$(ab-1)^{-1} = a(ba-1)^{-1}b - 1$$

因此

$$\begin{aligned} (a-b^{-1})^{-1} &= \left((ab-1)b^{-1} \right)^{-1} \\ &= b\left( a(ba-1)^{-1}b - 1 \right) \\ &= ba(ba-1)^{-1}b - b \\ &= (ba-1)^{-1}b \end{aligned}$$

注意到

$$\begin{aligned} (ba-1)^{-1}b - a^{-1} &= (ba-1)^{-1}baa^{-1} - a^{-1} \\ &= (ba-1)^{-1}a^{-1} \\ &= (aba-a)^{-1} \end{aligned}$$

因此，华罗庚等式 1： $ \left( (a-b^{-1})^{-1} - a^{-1} \right)^{-1} = aba - a$ 得证。

一个重要恒等式

$$b^{-1} - a^{-1} = ( b+b(a-b)^{-1}b )^{-1}$$

上面恒等式与逆算子连续性有关系。
证明：

$$\begin{aligned} (b^{-1} - a^{-1})^{-1} &= (1-ba^{-1})^{-1}b \\ &=(1+b(1-a^{-1}b)^{-1}a^{-1})b \\ &= b+b(a-b)^{-1}b \end{aligned}$$

华罗庚恒等式 2 证明

$$\begin{aligned} a \left( a^{-1}b^{-1}a - (a-1)^{-1} b^{-1}(a-1) \right) &= (b^{-1}a- a(a-1)^{-1} b^{-1} (a-1) \\ &= ( 1-a(a-1)^{-1} )b^{-1}a + (a-1+1) (a-1)b^{-1} )^{-1} \\ &= -(a-1)^{-1}b^{-1}a + b^{-1} + (a-1)b^{-1} \\ &= b^{-1} - (a-1)^{-1} b^{-1}(a-1) \end{aligned}$$

华罗庚恒等式的意义

1. 华罗庚第一个恒等式可以用来证明一个 Hua’s Theorem：除环间中保持加法和幺元以及逆元的映射必然是除环间的同态或者反同态。
2. 华罗庚第二个恒等式可以证明 Cartan-Brauer-Hua Theorem 即一个除环的真子除环的单位群如果是原除环的单位群的正规子群，则该子除环一定包含于除环的中心。

最后用一句广为流传的话结尾

龙生龙，凤生凤，华罗庚的学生会打洞（矩阵打洞）