自然数方幂和公式

关于自然数方幂和公式，网上的求解版本有很多种。这里介绍一种不为人知，十分简洁明了的求解方法，该公式并非原创，但是整个证明过程和方法完全原创。它的思想来源于我高中时在一本数学竞赛书中的数列例题(书名忘了…)，正因为一本本这样的书，让我大学选择了数学系，现在依然在学习数学。

若 $a_n = n(n-1)$ 求其前 $n$ 项和 $S_n$

$a_n = n(n-1) ＝ \frac{(n+1)n(n-1) -n(n-1)(n-2)}{3}$

所以

$S_n =\frac{(n+1)n(n-1)}{3}$

受到上面做法的启发，我们推广到一般形式：

$a_n = A_n ^p ＝ \frac{A_{n+1} ^{p+1} -A_n ^{p+1}}{p+1}$

所以

$S_n = \frac{A_{n+1} ^{p+1}}{p+1}$

由上面的结论，我们可以直奔主题了

由

$n^2 = n(n-1) + n$

知

$1^2+2^2+ \dots + n^2 = \frac{(n+1)n(n-1)}{3} + \frac{(n+1)n}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

同理我们可以推广上面做法

设

$n^p = a_p A_n ^p + a_{p-1} A_n ^{p-1} + a_{p-2} A_n ^{p-2} + \cdots + a_1 A_n ^1$

则

$1^p+2^p+ \dots + n^p = \frac{a_p A_{n+1} ^{p+1}}{p+1} + \frac{a_{p-1} A_{n+1} ^{p}}{p} + \cdots + \frac{a_1 A_{n+1} ^2}{2}$

因此问题的关键就转化成如何求解数组 $a_k ,k=1,2,\cdots,p$
我们发现当 $n＝k$ 时成立

$k^p = a_k A_k ^k + a_{k-1} A_k ^{k-1} + \cdots a_1 A_{k} ^1$

令 $b_k = k! \cdot a_k$ 则

$k^p = b_k + b_{k-1} C_k ^{k-1} + \cdots b_1 C_{k} ^1$

即

$k^p = \sum _{j=1} ^k b_j C _{k} ^j$

应用二项式反演知（可参考：我的博文）

$b_k = \sum _{j=1} ^k (-1)^{k-j} C _{k} ^j j^p$

因此最终，我们有公式

$1^p+2^p+ \dots + n^p = \sum _{k=1} ^p \; (\; \sum_{j=1} ^ {k} (-1)^{k-j} C_k^j j^p \;) \; C _{n+1} ^{k+1}$

妙呀，帅的呀，猛的呀，不谈了呀，哈哈哈

这个东西本质叫离散微积分，也叫下降幂。

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