有限整环是域

有限整环是域，这是一个相当深刻的定理，被称为 Wedderburn’s little theorem。介绍如下。

有限整环是体

设 $D$ 是有限整环（不要求交换），下证 $D$ 是体。
证明：对任意 $0 \neq a \in D$，考虑 $a,a^2,a^3,..,a^n,…$ 由于 $D$ 是有限环，因此存在 $n,r > 0$ 使得 $a^{n+r} = a^n$ 即 $a^n(a^r-1)=0$ 由于 $D$ 是整环，$a \neq 0$，因此 $a^r =1$ ，所以 $a$ 可逆，证毕。

有限体是域

设 $K$ 是有限体。$Z$ 是它的中心，即

$$Z = \lbrace z \in K \mid \forall x \in K, xz = zx \rbrace$$

则，$Z$ 是域。令 $|Z|=q$，则 $K$ 是 $q$ 元域上的有限维向量空间，设维数为 $n$，则 $|K|=q^n$。我们需要证明 $K=Z$, 即证明 $n=1$。
对任意 $a \in K$，令 $N(a) = \lbrace x \in K \mid ax = xa \rbrace$ ，这显然是 $K$ 的一个子体。并且包含 $Z$。因此 $N(a)$ 也是 $Z$ 上的有限维向量空间。从而 $N(a)=q^{n(a)},n(a) \geq 1$。由于 $K^{\star}$ 为 $q^n-1$ 阶乘法群，$N(a)^{\star}$ 为 $K^{\star}$ 的 $q^{n(a)}-1$ 阶子群，因此 $q^{n(a)}-1 \mid q^n-1$，因此 $n(a) \mid n$。
将乘法群 $K^{\star}$ 中的元素分成共轭类，从群论的角度，与 $a \in K^{\star}$ 共轭的元素有 $[K^{\star} :N(a)^{\star}] = \frac{q^n-1}{q^{n(a)}-1}$，从而每个共轭类取一次，共轭类集合记作$X$，我们有

$$q^n - 1 = q-1 + \sum_{\overline{a} \in X} \frac{q^n-1}{q^{n(a)}-1}$$

我们需要证明的是当 $n>1$ 时上式不成立。为此我们先介绍分圆多项式的知识。

$$P_n(x) = \prod_{1 \leq r \leq n,(r,n)=1} (x-e^{\frac{2 \pi i r}{n}})$$

即 $P_n(x)$ 是以全部 $n$ 次本原单位复根（共 $\phi(n)$ 个）为根的首一多项式。易知

$$x^n -1 = \prod_{d \mid n} P_d(n)$$

由数论函数的 Möbius 变换，(取对数或指数来切换乘积和相加)可知

$$P_n(x) = \prod_{d \mid n} (x^d-1)^{\mu(n/d)}$$

于是 $P_n(x)=f(x)/g(x)$ 其中 $f(x),g(x)$ 都为 $\mathbb{Z}[x]$ 中的首一多项式。另一方面，按照定义，$P_n(x) \in \mathbb{C}[x]$ ，从而在 $\mathbb{C}[x]$ 中 $g(x) \mid f(x)$。比较系数易知，$P_n(x)$ 为 $\mathbb{Z}[x]$ 中首一多项式。

因为对任意 $d \mid n,0<d<n,P_n(x)$ 的每个根都是 $x^n-1$ 的根，但不是 $x^d-1$ 的根，从而

$$P_n(x) \mid \frac{x^n-1}{x^d-1}$$

因此 $P_n(q) \mid q-1$, 但当 $n>1$ 时，

$$|P_n(q))| > (q-1)^{\phi(n)} \geq q-1$$

矛盾，证毕。

这个定理也可以表述为：一个有限环，如果它不是域，那么它必然存在零因子。