Cayley-Hamilton 定理

大一学了矩阵之后，一直很喜欢它，因为它形式简洁优美，又不缺乏技巧，是抽象和具体的桥梁，又有其实用性，成为现代数学最基础的工具之一。个人认为，矩阵中最优美的定理非 Cayley-Hamilton 定理（矩阵的特征多项式是它的一个化零多项式）莫属了。

交换环上的矩阵都有 Cayley-Hamilton 定理成立

详细表述和证明如下：

$$\phi(\lambda)=det(\lambda I - A) = a_n \lambda^n + \cdots + a_1 \lambda + a_0$$

设$\lambda I - A$的 伴随矩阵 为 $B$，则$B$中元素为关于 $\lambda$ 的次数小于 $n$ 的多项式，不妨设

$$B = \lambda^{n-1} B_ {n-1} + \cdots + \lambda B_1 + B_0$$

所以

$$(\lambda I - A)B = \lambda^n B_ {n-1} + \lambda^{n-1} (B_ {n-2} - AB_ {n-1}) + \cdots + \lambda (B_0 - AB_1) - AB_0$$

又因为 $B$ 是 $A$ 的伴随矩阵，我们有 $(\lambda I - A)B = det(\lambda I - A) I$

比较系数得到：

$$\left\{ \begin{array}{l} B_ {n-1} = a_n I \\ B_ {n-2} - AB_ {n-1} = a_{n-1} I \\ \cdots \\ B_0 - AB_1 = a_1 I \\ -AB_0 = a_0 I \end{array} \right.$$

对上式分别左乘$ A^n,A^{n-1},\cdots,A,I$得到：

$$\left\{ \begin{array}{l} A^n B_ {n-1} = a_n A^n \\ A^{n-1} B_ {n-2} - A^n B_ {n-1} = a_{n-1} A^{n-1} \\ \cdots \\ A B_0 - A^2 B_1 = a_1 A \\ -AB_0 = a_0 I \end{array} \right.$$

再将上式相加得到最终结果

$$\phi(A)= a_ n A^n + a_{n-1} A^{n-1} + \cdots + a_1 A + a_0 I = \mathbf{0}$$

上述定理优美在于从形式上，$\phi(\lambda)=det(\lambda I - A)$ 取 $\lambda = A$ 带入恰好也是 0（注意数字 0 和零矩阵的差别）虽然说这样做是完全没有道理。作为直接推论我们知道，一个 $n$ 阶方阵的任何次方都可以被它的不超过 $n$ 次的幂线性表出。

非交换环可逆矩阵的转置不一定可逆

非交换环 $R$ 上的方阵 $A$ 可逆，它的转置不一定可逆。例如 $R$ 是除环，$ab \neq ba$，则 $\begin{pmatrix} 1 & a \\ b ab \end{pmatrix}$ 可逆（待定系数即可求出逆元），但是 $\begin{pmatrix} 1 & b \\ a ab \end{pmatrix}$ 不可逆（可以简单的找到零因子），而这个性质满足当且仅当 $R/rad(R)$ 是交换的(Lam)。一个更为直观的例子：$M_2(M_2(k))$ 中四个只有分别只有一个位置非 0 且为 1 的矩阵转置就不是可逆的啦。当然了非交换环中一维的转置必然满足，上/下三角的为何满足呢？这是因为上/下三角方阵可逆当且仅当对角元素都可逆。